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Die Normalverteilung

Die Normalverteilung ist ein Verteilungsmodell in der Statistik und der Stochastik. Es handelt sich um einen Typ der stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung. Bei der Darstellung als Glockenkurve ist der Kurvenverlauf symmetrisch. Der Median und der Mittelwert sind gleich. Sie wird bei der Untersuchung großer Grundgesamtheiten genutzt. Beispiel: Körpergröße in Deutschland.

Es handelt sich um einen Typ der stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung, wie von Carl Friedrich Gauß beschrieben. Eine zufällige Variabel gilt dann als normalverteilt, wenn die unabhängigen Einflüsse sich überlagern und jede Einflussgröße in Relation zur Gesamtsumme unbedeutend ist. Beispiel: Eine Woche lang werden bei der Ernte Äpfel gewogen. Als Zufallsvariable gilt das Gewicht eines Apfels in Gramm. Im Durchschnitt wiegt nun jeder Apfel 50 Gramm. Der Erwartungswert ist 50. Die Varianz ist 25 g². Die Normalverteilung des Gewichts kann in einer Glockenform dargestellt werden. Die meisten Äpfel liegen beim Erwartungswert 50. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung sagt aus, dass die Wahrscheinlichkeit Äpfel zu erhalten, die schwerer oder leichter sind, nicht sehr groß ist.

Die Normalverteilung zeichnet sich dadurch aus, dass sie sich aus sehr vielen unterschiedlichen Einflüssen ergibt. Diese sind aber nicht zu trennen. Sie sind miteinander verwoben. Beispiel sind Gewicht des Apfels, Alter des Apfels, Zustand des Apfels, Lage des Apfelbaums und andere. Allgemein gilt, dass etwa 75 % aller Messwerte vom Mittelwert mit den Werten der Standardabweichung entfernt sind.

Anwendung der Normalverteilung

Die Darstellungen von Abweichungen statistischer Größen in der Naturwissenschaft oder anderer Wissenschaften vom Mittelwert lassen sich gut mit der Normalverteilung darstellen. Die Normalverteilung kann auch bei der Beschreibung zufälliger Vorgänge genutzt werden. Das wären unter anderem zufällige Messfehler, zufällige Abweichungen vom Nennmaß in der Fertigung von Werkstücken oder die Beschreibung von Molekularbewegung. Die Versicherungsmathematik braucht die Normalverteilung, um Schadensdaten zu modellieren und in der Messtechnik wird sie genutzt, um die Streuung der Messfehler darzustellen. In den Natur- und Gesellschaftswissenschaften kann sie die Grundlage der annähernden Beschreibung, der Erläuterung und der Prognose von Sachbeschreibungen sein.

Die Standardnormalverteilung

Die Normalverteilung wird durch ihren Erwartungswert und ihre Streuung beschrieben. Wie kann nun die allgemeine Verteilung in eine spezielle verwandelt werden. Dabei soll sie eine einfache Gestalt haben.
Bei ihr handelt es sich um eine Verteilung, die einen Erwartungswert von o und eine Standardabweichung von 1 hat.